Filosofia e Relatività Generale: l’ontologia di Minkowski

In calce al video sui 10 Libri sulla Filosofia della Relatività Generale (che vi linko sotto), trovate a seguire un approfondimento sul quadrimensionalismo di Einstein e Minkowski a proposito della struttura dello spaziotempo.

✔Libri di riferimento

Vittorio Silvestrini Guida alla teoria della relatività. Dalle previsioni di Einstein alle conferme sperimentali http://amzn.to/1r9KVgL

Albert Einstein, Relatività: esposizione divulgativa http://amzn.to/1t1B5yA

Amir D. Aczel L’equazione di Dio. Einstein, la relatività e l’universo in espansione http://amzn.to/1NZDdLx

Robert DiSalle Capire lo spazio-tempo. Lo sviluppo filosofico della fisica da Newton a Einstein http://amzn.to/212YsCV

Immanuel Kant, Critica della Ragion Pura http://amzn.to/1VHQvU7

Bertrand Russell, L’ABC della Relatività http://amzn.to/1QErimc

Ernst Cassirer, I problemi filosofici della teoria della relatività. Lezioni 1920-21 http://amzn.to/28feKhJ

Ernst Cassirer La teoria della relatività di Einstein http://amzn.to/1U9wUeo

Moritz Schlick, Il significato filosofico del principio di relatività http://amzn.to/1RVoS35

Hans Reichenbach, Relatività e conoscenza a priori http://amzn.to/25HjfiT

§1-Minkowski e l’ontologia dello spaziotempo – Secondo l’opinione più diffusa il contributo scientifico di Minkowski sarebbe stato quello di fornire una traduzione in forma geometrica della stretta interdipendenza fra spazio e tempo già sancita dalle trasformazioni di Lorentz. Sarebbe tale interdipendenza ad aver suggerito come naturale l’idea di una rappresentazione degli eventi fisici in uno spazio quadridimensionale. Questa ricostruzione è semplicistica ed imprecisa.

  1. Minkowski non è il protos euretès dello spazio-tempo: nel presentare la sua visione geometrica quadridimensionale riprendeva e sviluppava un’idea proposta per la prima volta da Poincaré nel 1905-1906, nel quale tale geometria veniva definita contestualmente alla rilettura delle trasformazioni di Lorentz come gruppo di simmetria.

  2. Lo spazio-tempo non è un puro strumento formale utile per rappresentare graficamente e visualizzare concetti quali la relatività della simultaneità e gli effetti cinematici di contrazione delle lunghezze e dilatazione dei tempi. Minkowski e Poincaré lo intendevano come qualcosa di più profondo.

Che il significato originale attribuito da Minkowski alla geometria dello spaziotempo sia di tutt’altra portata culturale emerge dal testo di una interessante conferenza dal titolo Raum und Zeit tenuta a Colonia nel 1908 (poi pubblicata nel 1909). Questa conferenza rappresenta un’emblematica occasione in cui un esponente importante della comunità scientifica pone all’attenzione dei colleghi la necessità di un cambiamento di ontologia imposto da un formulario nuovo e intrinsecamente rivoluzionario, direbbe Kuhn. Riletto oggi, il testo di questa conferenza colpisce, oltre che per i suoi contenuti, anche per la retorica chiaramente mirata ad invitare fisici e matematici a riflettere sulle conseguenze ontologiche della RS e sulla necessità di un riadattamento delle nostre abitudini e percezioni.

Prima di proporre un’analisi critica dell’interpretazione minkowskiana, ripercorriamo le tappe principali del suo ragionamento, soprattutto per capire cosa intendesse dire con la tanto celebre quanto ‘ermetica’ frase pronunciata in apertura di conferenza: “i punti di vista su spazio e tempo […] germogliano nel terreno della fisica sperimenta le, e in questo risiede la loro forza. Si tratta di concezioni drastiche. D’ora innanzi, lo spazio in se stesso, e il tempo in se stesso, sono condannati a svanire come pure ombre, e solo una sorta di unione tra i due conserverà una realtà indipendente”.

Diamo ora uno sguardo al testo della Raum und Zeit. Obiettivo generale della relazione di Minkowski è mostrare come, “a partire dalla meccanica accreditata al giorno d’oggi, si possa arrivare, lungo una linea di pensiero puramente matematica, a nuove idee di spazio e tempo”. Il problema centrale affrontato è quello di risolvere la disomogeneità esistente tra i due gruppi di trasformazioni che conservano la forma delle equazioni differenziali della meccanica classica: il gruppo delle rotazioni spaziali e quello delle trasformazioni di Galilei.

Minkowski legge in questi due gruppi di trasformazioni profonde differenze. Nel primo gruppo vede espresse le proprietà di omogeneità ed isotropia dello spazio, proprietà a cui viene attribuito significato geometrico; nel secondo gruppo vede espresse le caratteristiche del tempo classicamente inteso (l’esistenza del tempo assoluto e la libertà del tempo di assumere una qualunque direzione rispetto agli assi spaziali), nonché l’assunto fisico che non esista alcun fenomeno che ci permetta di distinguere tra sistemi di riferimento inerziali. La geometria quadridimensionale viene dunque riletta da Minkowski come la strada per risolvere le disomogeneità presenti nella fisica classica.

Alla luce di queste premesse è semplice comprendere che l’obiettivo di Minkowski è rileggere il gruppo di Lorentz come gruppo di trasformazioni più generale del quale i due gruppi di simmetria della meccanica classica risultino casi particolari. In questo modo la struttura formale può ritrovare unitarietà e organicità, grazie alle quali sarà possibile capire “cosa ha a che fare la richiesta di ortogonalità nello spazio”, ovvero la richiesta di invarianza delle leggi fisiche per trasformazioni omogenee lineari che lascino invariata l’espressione x2+y2+z2 , richiesta espressa dal primo gruppo, con la “perfetta libertà dell’asse temporale” di assumere una qualunque direzione rispetto agli assi spaziali, proprietà implicata dal secondo gruppo.

Per connettere concretamente i due gruppi di trasformazioni Minkowski considera nel piano x,t l’invariante rappresentato dall’equazione c2t2-x2=1, dove c è un parametro al quale non viene attribuito all’inizio alcun particolare significato.

Come passo successivo viene costruito in modo totalmente geometrico un nuovo sistema di coordinate x’,t’ nel quale l’espressione scritta rimane invariante in forma. Attraverso passaggi dal carattere apparentemente artificioso arriva alla conclusione che la richiesta di invarianza dell’iperbole porta in realtà ad individuare, per ogni valore di c, un ben definito gruppo di trasformazioni lineari. Tale gruppo viene indicato con Gc, ad evidenziare la dipendenza dal parametro usato. Facendo tendere c all’infinito è possibile ritrovare il gruppo classico di trasformazioni – il gruppo di Galileo – da Minkowski indicato con G con pedice infinito. La geometria quadridimensionale invariante per il gruppo Gc di trasformazioni diventa così espressione di diverse esigenze che, nel loro insieme, concorrono a porre le basi per quella che sarà l’interpretazione ontologica della relatività ristretta proposta da Minkowski, riconducibile ad una visione sostanzialista dello spaziotempo.

§1.1-Critica al classicismo di Einstein – Oltre a rispondere all’esigenza di ricostruire una struttura formale sufficientemente generale da riassorbire in sé le disomogeneità particolari, essa diventa anche espressione di una ritrovata armonia tra fisica e geometria, nonché di una possibilità di rinsaldare le teorie fisiche sull’idea che l’essenza stessa del mondo deve essere assoluta, cioè invariante, indipendente dalla visione necessariamente particolare degli osservatori. Vediamo più in dettaglio questi due punti. Il progetto di geometrizzare la fisica Minkowski pone molta attenzione a persuadere della necessità di una visione di un mondo quadridimensionale, necessità che non deriva da pure speculazioni formali, ma dal mondo naturale, o meglio, “germoglia dal terreno della fisica sperimentale”. Per questo invita a “visualizzare graficamente lo stato di cose”. Minkowski sottolinea, infatti, quanto ogni visualizzazione non avvenga nello spazio, ma nello spazio e nel tempo, e quanto questa sia un’operazione naturale, dal momento che “gli oggetti della nostra percezione includono invariabilmente spazi e tempi in combinazione”: a nessuno capita infatti di pensare “un luogo al di fuori di un tempo, o un tempo al di fuori di un luogo”.

Per esplicitare e ricordare che questo è il modo naturale di percepire il mondo fattuale, Minkowski introduce il Weltpunkt “un punto dello spazio in un punto del tempo”. Il mondo è semplicemente l’insieme di tutti i possibili valori di x, y, z , t. Quei punti del mondo che rappresentano la corsa di un qualunque oggetto, definiscono per quell’oggetto la cosiddetta Weltlinie. Il progetto di Minkowski di geometrizzare la fisica acquista così naturale legittimità, in quanto fonda le proprie radici nel mondo dei fenomeni ed è di questo che vuole dare spiegazione. Grazie alle sue proprietà di simmetria, generalità e invarianza, la geometria quadridimensionale diventa il modo privilegiato di liberare la conoscenza del mondo fattuale da quelle imperfezioni che derivano dall’attaccamento, istintivo e non completamente razionale, al nostro modo approssimativo di percepire e osservare la natura. Solo guardando il mondo dei fenomeni da una visione quadridimensionale strutturata, dunque, le leggi fisiche sono esprimibili nella forma più semplice possibile. Nello spazio classico tridimensionale esse, infatti, “lasciano solo una complicata proiezione”, un’ombra.

Spazio e tempo in se stessi sono solo ombre del mondo reale. Solo la matematica è in grado di farle svanire guidandoci verso l’essenza della realtà. L’essenza diventa l’invarianza della struttura geometrica per trasformazioni del gruppo Gc e, per questo, il nome più adatto per esprimere questo non è più il “postulato di relatività”, quanto “il postulato del mondo assoluto” o “postulato del mondo”. Questa nuova struttura geometrica, dunque, è tale da sopravvivere indipendentemente dai fenomeni e dagli osservatori e, per questo, può essere riconosciuta come la struttura propria del mondo.

La geometria dello spaziotempo, infatti, si riproduce uguale a se stessa quando la si associa ad un qualunque osservatore posto in un qualunque punto O: in ogni luogo si riproducono le strutture invarianti dei due coni di vertice O, rappresentati dall’equazione c2t2-x2-y2-z2=0, le quali ovunque individuano due zone, cosiddette del “dopo” e del “prima” di O, costituite da quegli insiemi di punti che possono rispettivamente “ricevere” o “inviare luce a O”. Ciò non esclude che si possa ancora parlare di relatività, e di sistemi associati ad osservatori che vedono i fenomeni dalla loro particolare prospettiva, ma lo si può fare solo nel momento in cui si rinuncia a vedere e a pensare il mondo a quattro dimensioni, e ci si riferisce ad esso attraverso la sua proiezione tridimensionale nello spazio e a quella unidimensionale nel tempo. Solo tali proiezioni, infatti, “possono essere ancora assunte con un certo grado di libertà”, ovvero lasciano spazio a letture dipendenti dal punto di vista dell’osservatore e affette da ‘distorsioni prospettiche’. Per Minkowski, dunque, il mondo di Einstein popolato di regoli e orologi, dal momento che enfatizza gli effetti relativistici di contrazione delle lunghezze e di dilatazione del tempo, è un mondo osservato da una prospettiva che tradisce un attaccamento ad una visione newtoniana, perché newtoniana è l’abitudine a tenere separate le dimensioni spaziali da quella temporale.

§1.2- La visione sostanzialista e realista di Minkowski – Lo spaziotempo di Minkowski non vuole essere una rappresentazione grafica della RS di Einstein, né tanto meno una pura astrazione matematica. Va invece letto come il risultato di un’interpretazione ontologica del formulario della RS e, come tale, è espressione di una visione globale e radicale di un intreccio complesso tra fisica, geometria e mondo naturale.

In particolare la visione di Minkowski nasce dalla convinzione dell’esistenza di una “armonia prestabilita fra matematica pura e fisica”. Lo spazio-tempo deriva dal mondo dei fenomeni, è reale ed è indipendente dall’osservatore; la geometria quadridimensionale è l’ente primario – il ‘mondo’ – al quale ricondurre la fisica e, con essa, l’insieme dei fenomeni naturali. A svelare il vero ‘mondo’ sono le stesse relazioni fisiche della natura, relazioni che solo in quattro dimensioni rivelano la loro vera essenza in tutta semplicità. In questa visione costruita postulando l’esistenza del ‘mondo’, il comportamento dei “punti di sostanza (punti occupati da oggetti fisici e non astratti punti geometrici) va letto in termini di relazioni invarianti fra le linee del mondo, perché è in tali relazioni che si esplicitano le leggi fisiche.

Il ‘mondo’ di Minkowski è quindi svelato nella sua essenza dai fenomeni e acquista significato perché dei fenomeni è in grado di dare ragione: in quest’ottica si deve leggere il rifiuto di Minkowski di pensare al ‘mondo’ come ad un vuoto primordiale (“eine gähnende Leere”). Il suo ‘mondo’ è estraneo ad una visione che gli conferisca connotazioni mitiche o metafisiche. Esso rappresenta la vera essenza della realtà e nella sua veste quadridimensionale si libera dal relativismo dello spazio oltre che del tempo e confina lo spazio tridimensionale al ruolo che hanno le “ombre” nel mito platonico della caverna. Nella visione di Minkowski viene stabilita un’identificazione letterale tra la struttura spaziotemporale matematica e la struttura del mondo naturale.

In altre parole, la posizione di Minkowski si basa sull’assunto sostanzialista che il mondo reale è una varietà quadridimensionale realmente esistente; il che implica una forma di realismo forte nei confronti della natura che, appunto, esiste come struttura matematica a quattro dimensioni. Simmetria, invarianza, generalità diventano criteri a disposizione dello scienziato per valutare il grado di fedeltà della teoria al mondo dei fenomeni, perché queste sono le proprietà delle forme attraverso le quali si manifesta, “nel terreno della fisica sperimentale”, quell’armonia tra matematica pura e natura che, essendo prestabilita, trascende la conoscenza.

§1.3- Il rifiuto di Einstein del sostanzialismo e l’ontologia relazionale –L’interpretazione diffusa dello spaziotempo di Minkowski come puro strumento di visualizzazione sembra riprendere alla lettera la visione di Einstein come è espressa, ad esempio, nell’esposizione divulgativa delle teorie relativistiche. Il fatto di considerare il tempo come quarta dimensione non rappresenta per Einstein una novità, dal momento che si potrebbe parlare in termini di continuo quadridimensionale anche nella fisica classica.

Qui però il tempo aveva una funzione indipendente in confronto alle coordinate spaziali. È questa la ragione della nostra inveterata abitudine di trattare il tempo come un continuo indipendente. È stata la teoria della relatività a suggerirci di considerare l’universo come avente quattro dimensioni, poiché secondo tale teoria il tempo viene defraudato della sua indipendenza come mostra la quarta equazione della trasformazione di Lorentz. Il riconoscimento, da parte di Einstein, della necessità (e dei vantaggi) di trattare lo spazio e il tempo come un una unità fu il risultato di profonde meditazioni che nacquero contestualmente alla scrittura della relatività generale.

Sono ampiamente documentate le riserve espresse da Einstein nei confronti del lavoro di Minkowski immediatamente dopo la sua presentazione. In esso Einstein vedeva il riemergere in fisica di uno spazio tanto assoluto quanto lo era quello di Newton, contro il quale il fisico tedesco si era scagliato e che pensava di avere una volta per tutte espunto dalla fisica attraverso l’idea di ricondurre il significato dei concetti alle loro definizioni operative. Soltanto contestualmente alla scrittura della RG, Einstein cominciò a rendersi conto dell’importanza di una visione quadridimensionale e di quanto l’approccio geometrico fosse di gran lunga preferibile all’originaria scrittura algebrica della RS (idea che lo avrebbe portato dall’ empirismo giovanile ad una posizione di tipo realista in età più matura).

“Un misterioso brivido coglie il non matematico quando sente parlare di entità “quadridimensionali”: una sensazione non dissimile da quella risvegliata dall’apparizione di uno spettro sul palcoscenico. Tuttavia non esiste affermazione più banale di quella che il mondo in cui viviamo è un continuo spazio-temporale a quattro dimensioni. Lo spazio è un continuo tridimensionale. Con ciò intendiamo che è possibile descrivere la posizione di un punto (in quiete) per mezzo di tre numeri (coordinate) x, y, z, e che per ogni punto ne esistono altri a esso arbitrariamente “vicini”, la posizione dei quali può essere descritta da coordinate con x,, y,, z,, che si approssimano a piacere, rispettivamente, alle coordinate x, y, z, del punto anzidetto. In virtù di quest’ultima proprietà noi parliamo di un “continuo”, e grazie al fatto che esistono tre coordinate noi diciamo che esso è “tridimensionale”. In modo analogo, l’universo dei fenomeni fisici, che era brevemente chiamato “universo” di Minkowski, risulta naturalmente a quattro dimensioni nel senso d’uno spazio-tempo. Esso è infatti composto di eventi singoli, ciascuno dei quali viene descritto da quattro numeri, e precisamente: tre coordinate spaziali x, y, z, e una coordinata temporale, il valore del tempo t. L’universo in questo senso è anche un continuo; per ogni evento infatti esistono altrettanti eventi arbitrariamente “vicini” (realizzati o per lo meno pensabili), le cui coordinate x, y, z, t, differiscono tanto poco quanto si vuole (la quelle dell’evento x, y, z, t, originariamente considerato). Il motivo per cui non siamo abituati a considerare come un continuo quadrimensionale l’universo, preso in questo senso, è dovuto al fatto che nella fisica pre-relativistica il tempo aveva una funzione diversa e più indipendente in confronto alle coordinate spaziali. È questa la ragione della nostra inveterata abitudine di trattare il tempo come un continuo indipendente. In effetti secondo la fisica classica il tempo è assoluto, cioè indipendente dalla posizione e dallo stato di moto del sistema delle coordinate. Ciò risulta espresso dall’ultima equazione della trasformazione galileiana (t1=t)”, (A. Einstein, Relatività. Esposizione divulgativa, Bollati Boringhieri, 1991: pp.86-87).

Evidentemente Einstein, lavorando alla RG, giunse a riconsiderare il ruolo della matematica come un potente strumento descrittivo sul quale basare l’organizzazione del pensiero e costruire una conoscenza unificata del mondo. In una lettera scritta all’amico Besso nel 1938, egli stesso dichiarò infatti di essere divenuto, “a causa del problema della gravitazione, un credente razionalista, cioè uno che cerca l’unica fonte attendibile di verità nella semplicità matematica”.

L’influenza su Einstein dell’idea di Minkowski – il mondo che percepiamo è soltanto un’ombra del mondo reale a quattro dimensioni – è evidente in un’altra lettera inviata a Michele Besso nel luglio 1952. Qui Einstein rimproverava l’amico dicendo: “tu non prendi sul serio le quattro dimensioni della relatività, ma consideri invece il presente come fosse la sola realtà. Ciò che tu chiami ‘mondo’ corrisponde, nella terminologia fisica, a ‘sezioni spaziali’, alle quali la teoria della relatività – già quella speciale – nega realtà oggettiva”. Quelle “sezioni spaziali” sono proprio le proiezioni di cui parla Minkowski nel corso della sua conferenza del 1908, sono cioè le ombre che il pensiero matematico ha rivelato come percezioni parziali della realtà.

Negli anni che seguirono alla pubblicazione della RG Einstein non perse occasione per riconoscere in modo esplicito il proprio debito nei confronti di Minkowski, tuttavia non si può dire che le due posizioni sull’ontologia della RS arrivarono a sovrapporsi in modo stabile e deciso. Nonostante siano documentate oscillazioni nel pensiero di Einstein sulla natura dello spazio, Einstein non perse mai una certa diffidenza verso una visione dello spazio-tempo decisamente sostanzialista. ’influenza di Mach non poteva infatti che renderlo diffidente verso un qualsiasi assoluto che rievocasse quella stessa mostruosità concettuale contro cui Mach si era scagliato. Einstein riteneva che la fisica fosse il tentativo di costruzione concettuale di un modello del mondo reale e della sua struttura retta da leggi. Le teorie non sono altro che modelli in grado di codificare il livello acquisito di comprensione di una realtà che esiste indipendentemente dall’osservatore. In sintesi si può dire che alla visione sostanzialista di Minkowski si sia affiancata una più prudente posizione realista di Einstein: “La sola giustificazione dei nostri concetti e dei sistemi di concetti sta nel fatto che essi servono a rappresentare il complesso delle nostre esperienze; oltre a ciò essi non hanno nessuna legittimità. Son convinto che i filosofi hanno avuto un’influenza dannosa sul progresso del pensiero scientifico, trasportando certi concetti fondamentali dal dominio dell’empirismo, dove essi erano sottoposti al nostro controllo, alle altezze intangibili dell’a-priori.

La posizione di Einstein prende dunque forma dall’assunto che la scienza si debba occupare del mondo naturale elaborando concetti, anche astratti e matematici, ma pur sempre calati o calabili nel mondo esperibile e non appartenenti a realtà metafisiche, all’Olimpo dell’a-priori.

Secondo Einstein esiste un limite della conoscenza razionale cui deve tendere l’impresa scientifica e oltre il quale si entra nell’alveo di dogmi e tabù. Coerente con questa posizione epistemologica è la visione di spazio che Einstein propone più frequentemente nei suoi scritti, visione che può essere riconosciuta come di tipo relazionale: lo spazio come struttura di relazioni formali costruite dall’uomo per porre ordine e comprendere i fenomeni, dove per comprendere si intende la creazione di un ordine tra le impressioni sensoriali, frutto dei concetti generali, delle relazioni fra questi concetti e delle relazioni tra i concetti e l’esperienza sensoriale. Nel pensiero di Einstein mantiene una forte presa la distinzione di stampo neopositivista tra termini osservativi e termini teorici, il cui lignaggio terrestre è garantito se e solo se esiste una regola di corrispondenza, una definizione operativa. Coerentemente, l’ontologia proposta per la relatività ristretta era ancorata all’idea che una teoria scientifica ha significato fin tanto che parla di oggetti fisici osservabili.

Dal quadro proposto si dovrebbe dunque capire perché Einstein non poteva non criticare la sostanzialità dello spaziotempo: “lo spaziotempo non è di necessità qualcosa a cui si possa attribuire un’esistenza separata, indipendentemente dagli oggetti effettivi della realtà fisica. Gli oggetti fisici non sono nello spazio, bensì spazialmente estesi. In tal modo il concetto di ‘spazio vuoto’ perde il suo significato”. L’immagine di spazio alla quale Einstein nel 1952 dirà di sentirsi vicino è quella di Descartes, a cui la RG avrebbe ricondotto: uno spazio che non ha esistenza separata rispetto a ‘ciò che riempie lo spazio’ e che di pende dalle coordinate.

Ciò che riempie lo spazio per la RG è il campo gravitazionale che definisce anche le proprietà strutturali del continuo.

Se immaginiamo di togliere il campo gravitazionale, cioè le funzioni gik, […] rimarrà assolutamente nulla”. Alla luce di questa immagine di spazio, lo spaziotempo di Minkowski “non è uno spazio senza campo, ma un caso speciale del campo gik, caso in cui le funzioni gik hanno – per il sistema di coordinate usato, che non ha in sé alcun significato oggettivo – dei valori indipendenti dalle coordinate. Non esiste un qualcosa come uno spazio vuoto, ossia uno spazio senza campo. Lo spaziotempo non pretende di avere un’esistenza per proprio conto, ma soltanto una qualità strutturale del campo”. (Testo comparso in parte su cyberscienza.it il 27/01/2010).

Annunci

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione / Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione / Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione / Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione / Modifica )

Connessione a %s...